图论基础

图的定义

点用边连起来就叫做图。在严格意义上，图是一种数据结构，定义为：$graph=(V,E)$。

其中，$V=\{p|p=(a,b)\}$是一个非空有限集合，代表顶点（结点），$E$代表边的集合。

图的相关概念

有向图：图的边有方向，只能按箭头方向从一点到另一点。

无向图：图的边没有方向，可以双向。

结点的度：无向图中与结点相连的边的数目，称为结点的度。

• 结点的入度：在有向图中，以这个结点为终点的有向边的数目。

• 结点的出度：在有向图中，以这个结点为起点的有向边的数目。

注：有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。

权值：边的“费用”，可以形象地理解为边的长度。

连通：如果图中结点U，V之间存在一条从U通过若干条边、点到达V的通路，则称U、V 是连通的。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。

回路：起点和终点相同的路径，称为回路，或"环"。

完全图：一个$n$阶的完全无向图含有$\frac{n(n-1)}{2} $条边；一个$n$阶的完全有向图含有$n(n-1)$条边；

稠密图：一个边数接近完全图的图。

稀疏图：一个边数远远少于完全图的图。

强连通分量：有向图中任意两点都连通的最大子图。特殊地，单个点也算一个强连通分量。