群论(Group Theory)

群的定义

设 GG 为非空集合，其上有二元运算⋅:G×G→G\cdot :G \times G \to G，如果它们满足以下性质，则称 (G,⋅)(G,\cdot )是一个群(group)，简称群 GG：

  1. 结合律：∀a,b,c∈G,a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c\forall a,b,c \in G,a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c.
  2. 有单位元：∃e∈G,∀a∈G,a⋅e=e⋅a=a\exists e \in G,\forall a \in G,a \cdot e = e \cdot a = a.这里ee被称为群GG的单位元，也可称作幺元.
  3. 有逆元：∀a∈G,∃b∈G,a⋅b=b⋅a=e\forall a \in G,\exists b \in G,a \cdot b=b \cdot a=e.这里bb被称为aa的逆元，也可以记作a−1a^{-1}.

额外地：
任何一个群还应满足封闭性条件：∀a,b∈G,a⋅b∈G\forall a,b \in G,a \cdot b \in G.上面定义的二元运算⋅\cdot已经隐含了封闭性条件.
4. 若群GG满足交换律：∀a,b∈G,a⋅b=b⋅a\forall a,b \in G,a\cdot b=b\cdot a，则称群GG为交换群或Abel群.
若群GG仅满足 1，则称 (G,⋅)(G,\cdot ) 为半群.
若群GG仅满足 1,2，则称 (G,⋅)(G,\cdot ) 为幺半群.
若群GG仅满足 1,2,4，则称 (G,⋅)(G,\cdot ) 为交换幺半群或Abel幺半群.

群的基本性质

对于群(G,⋅)(G,\cdot)，以下性质总是成立：

  1. 对于任何有限长的列 {gi}i=1k⊆G\{g_i\}^{k}_{i=1} \subseteq G，积 ∏i=1kgi=g1⋅g2⋅⋯⋅gk\prod_{i=1}^{k}g_i = g_1 \cdot g_2 \cdot \cdots \cdot g_k 的运算结果与加括号的方式无关.
  2. ∃!e∈G\exists!e\in G.
  3. ∀a∈G,∃!a−1\forall a \in G,\exists!a^{-1}.
  4. 消去律：∀a,b,c∈G,\forall a,b,c\in G,若a⋅c=b⋅ca \cdot c=b \cdot c或c⋅a=c⋅bc \cdot a=c \cdot b，则a=ba=b.

群的例子

  • 整数集Z\mathbb{Z}在加法++运算下构成Abel群(Z,+)(\mathbb{Z},+)，单位元为00，对于Z\mathbb{Z}中的任意元素，其逆元为它的相反数.
  • 对于任意正三角形的可重合旋转操作，可以构成空间对称群.对于任意几何图形，能够使其与自身重合的变换全体也在映射的复合下构成群.

想要验证以上群的例子，只要根据群的定义进行验证即可.
再给出两个数集中的反例：

  • 整数在乘法下并不构成群，因为其中不属于{−1,0,1}\{-1,0,1\}的元素在整数范围内没有乘法逆元.
  • 正整数在加法下不构成群，因为正整数没有加法单位元.

子群

子群的定义

对于群 (G,⋅)(G,\cdot) 和它的一个子集 H⊆GH\subseteq G，如果 (H,⋅)(H,\cdot) 也是一个群，则称子集 HH 是 GG 的一个子群.可记为H≤GH\le G.

子群的验证

要判断给定子集 H⊆GH\subseteq G 是不是 GG的子群，并不需要逐一验证群的定义：结合律一定成立，只要保证它对二元运算封闭、有单位元且对取逆封闭即可.即满足以下条件：

∀g,h∈H,g−1⋅h∈H\forall g,h\in H,g^{-1}\cdot h\in H

由子集生成的子群

一般地，对于群 (G,⋅)(G,\cdot)，给定子集 S∈GS\in G ，从 SS 中的元素出发，重复进行乘法和取逆运算有限次得到的所有结果组成的集合成为 群(G,⋅)(G,\cdot) 的一个子群，称为由子集 SS 生成的子群.

对于群 (G,⋅)(G,\cdot) 和 GG 的非空子集 S⊆GS\subseteq G，若 HH 是包含 SS 的 GG 的子群中按包含关系最小的，则子群 HH 为由子集 SS 生成的子群，并记作 ⟨S⟩\langle S\rangle.

特别地，若 card(S)=1card(S)=1，则 ⟨S⟩\langle S\rangle 也记作 ⟨x⟩\langle x\rangle，称为 xx 的幂的循环子群.

循环群

对于群 GG ，若 ∃x∈G,G=⟨x⟩\exists x\in G,G=\langle x\rangle，则称群GG是一个循环群.如果群 (G,⋅)(G,\cdot) 的子集 S⊆GS\subseteq G 满足 ⟨S⟩=G\langle S\rangle=G，则称 SS 是 GG 的 生成子集.生成子集 SS 中的元素称为生成元.

所有的循环群都是Abel群.但即使群的所有非平凡子群都是循环群，群本身也可能不是Abel群.

对称群

置换

若S={1,2,...,n}S=\{1,2,...,n\}，则从SS到自身的双射σ:S→S\sigma:S\to S被称为SS的一个置换.该映射是可逆的.

若card(S)=ncard(S)=n，那么，SS上的全体置换的数量就是 n!n!.

特别地，0!=10!=1，即空集合上有且仅有一个置换，即空置换.置换讨论的是元素间的对应关系，而并不关心元素具体是什么.当讨论大小为nn的集合时，通常假定讨论的集合就是{1,2,...,n}\{1,2,...,n\}.

对称群的定义

阶

群上离散对数

环论(Ring Theory)

环的定义

环的例子

理想

零因子和整环

多项式环

中国剩余定理

域论(Field Theory)

域的定义

域的例子

域的扩张

有限域

伽罗瓦域